HDU 3507：Print Article

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题目大意：给定$n$，$m$，输出序列$n$个数，每连续输出代价为连续输出的数字和的平方加上$m$.

斜率优化DP

定义$sum_{pq}=\sum_{k=p+1}^qa_k=pre[q]-pre[p]$，其中$pre[]$维护的是前缀和.

直接DP：$dp[i]=min\{dp[q]+sum_{qi}+m\}(q<i)$，如此复杂度为$O(n^2)$，故需要优化.

设$p<q$，若从$q$转移而来比从$p$更优，则有$dp[q]+sum_{qi}+m<dp[p]+sum_{pi}+m$，

化简可得，$\frac{(dp[q]+pre[q]^2)-(dp[p]+pre[p]^2)}{2pre[q]-2pre[p]}<pre[i]$.

定义映射$f$，使得$k\xrightarrow{f} (2pre[k],dp[k]+pre[k]^2)$，$g[p,q]$为$f(p)$和$f(q)$两点的斜率，

则有，若$g[p,q]<pre[i]$，则$q$比$p$更优.

当$p<k<q$且$g[p,k]>g[k,q]$时，不难证明$k$一定不为最优：

当$g[k,q]<pre[i]$时，$q$比$k$更优；当$g[k,q]\geqslant pre[i]$时，有$g[p,k]>pre[i]$，故$p$比$k$更优.

考虑$pre[i]$数列的单调性，我们只需维护一个斜率递增的队列即可.

代码如下：

1 #include 
     
       2 #define N 500005 3 using namespace std; 4 typedef long long ll; 5 int n,m,dp[N],a[N],pre[N],deq[N],r,f; 6 int y(int n){
   return dp[n]+pre[n]*pre[n];} 7 int x(int n){
   return 2*pre[n];} 8 int main(void){ 9     while(~scanf("%d%d",&n,&m)){10         r=-1,f=0;11         deq[++r]=0;12         for(int i=1;i<=n;++i){13             scanf("%d",&a[i]);14             pre[i]=pre[i-1]+a[i];15         }16         for(int i=1;i<=n;++i){17             while(r-f>0){18                 if(y(deq[f+1])-y(deq[f])19                    <=pre[i]*(x(deq[f+1])-x(deq[f])))20                     f++;21                 else break;22             }23             dp[i]=dp[deq[f]]+(pre[i]-pre[deq[f]])*(pre[i]-pre[deq[f]])+m;24             while(r-f>0){25                 if((y(deq[r])-y(deq[r-1]))*(x(i)-x(deq[r]))26                     >=(y(i)-y(deq[r]))*(x(deq[r])-x(deq[r-1])))27                     r--;28                 else break;29             }30             deq[++r]=i;31         }32         printf("%d\n",dp[n]);33     }34 }